Integralrechner

So funktioniert der Integralrechner

1. Wähle beim Integraltyp, ob du ein unbestimmtes oder ein bestimmtes Integral berechnen willst.
2. Stelle unter Funktion f(x) den Funktionstyp ein: a·x^n, a·e^(b·x), a·sin(b·x) oder a/x.
3. Trage Faktor a, Parameter b (für e-Funktion und Sinus) und Exponent n (für Potenzen) ein.
4. Gib einen x-Wert (für F(x)) an, an dem Stammfunktion und Integrand ausgewertet werden.
5. Für das bestimmte Integral setzt du zusätzlich Untere Grenze und Obere Grenze.
6. Alle Ergebnisse aktualisieren sich sofort — ganz ohne Berechnen-Button.

Durchgerechnetes Beispiel: Eine 19-jährige Studentin aus München muss ∫₀² 3x² dx lösen. Sie wählt „Bestimmtes Integral“, Funktion a·x^n mit Faktor a = 3 und Exponent n = 2, untere Grenze 0, obere Grenze 2. Die Stammfunktion ist F(x) = 3 · x³/3 = x³. Damit gilt F(2) − F(0) = 8 − 0 = 8. Der Rechner zeigt exakt diesen Wert — plus F(2) = 8 und f(2) = 12 als Kontrolle.

Wann brauche ich ein bestimmtes und wann ein unbestimmtes Integral?

Das unbestimmte Integral liefert die Stammfunktion F(x) — also die ganze Funktionsschar inklusive Integrationskonstante C. Du brauchst es, wenn du allgemein aufleiten musst, etwa in Physik bei der Herleitung von Weg aus Geschwindigkeit.

Das bestimmte Integral mit unterer und oberer Grenze liefert eine konkrete Zahl: die orientierte Fläche unter dem Graphen. Typische Anwendungen:

• Flächenberechnung zwischen Kurve und x-Achse
• zurückgelegter Weg aus einer Geschwindigkeitsfunktion
• Gesamtmenge aus einer Zuflussrate (z. B. Wassermenge aus Durchfluss)

Faustregel: Stehen Grenzen dabei, nimm das bestimmte Integral. Geht es um die allgemeine Aufleitung, das unbestimmte.

Was passiert bei Sonderfällen wie n = −1 oder b = 0?

Nicht jede Formel funktioniert für alle Parameter — der Rechner fängt die kritischen Fälle ab:

• Exponent n = −1: Die Potenzregel würde durch null teilen. Stattdessen gilt der Logarithmusfall: ∫ a/x dx = a · ln|x| + C.
• Parameter b = 0 bei e^(b·x): Die Funktion wird konstant (a · e⁰ = a), das Integral ist dann einfach a · (x_ende − x_start).
• b = 0 bei sin(b·x): Die Funktion ist überall null, das Integral ebenfalls.
• x = 0 bei a/x: Division durch null wird durch einen winzigen Ersatzwert abgefangen, damit kein Fehler entsteht.

Gerade in Klausuren sind das die Stellen, an denen die meisten Punkte verloren gehen. Wenn du die Fälle einmal verstanden hast, erkennst du sie sofort wieder.

Formel

Die vier unterstützten Stammfunktionen:

∫ a·x^n dx  = a · x^(n+1)/(n+1) + C     (n ≠ −1)
∫ a/x dx    = a · ln|x| + C
∫ a·e^(b·x) dx = (a/b) · e^(b·x) + C    (b ≠ 0)
∫ a·sin(b·x) dx = −(a/b) · cos(b·x) + C (b ≠ 0)

Dabei ist a der Vorfaktor, b der Parameter im Exponenten bzw. im Sinus-Argument, n der Exponent und C die Integrationskonstante. Das bestimmte Integral folgt aus dem Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).

So ist dieser Rechner entstanden

Dieser Rechner ist entstanden, weil das Aufleiten in der Praxis fast immer an denselben vier Funktionstypen hängt — und weil gerade die Sonderfälle (n = −1, b = 0) in keinem Taschenrechner sauber behandelt werden. Alle Formeln wurden anhand der Standard-Ableitungsregeln gegengeprüft.